17．数的整除一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

二、整除判断方法：

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1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 ）（#￥%

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 请勿采集

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 *&^%

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 ）（#￥%

5.能被7整除： 请勿采集

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

请勿采集

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 ！@#￥

6.能被11整除： 请勿采集

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 Copyright www.i-bei.com

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ）（#￥%

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

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7.能被13整除： 请勿采集

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

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②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 ！@#￥

三、整除的性质： *&^%

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

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2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 ）（#￥%

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18．余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。

余数的性质： Copyright www.i-bei.com

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。 *&^%

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

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④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

19．余数、同余与周期一、同余的定义：

*&^%

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

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②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。

请勿采集

二、同余的性质：

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①自身性：a≡a(modm)；

请勿采集

②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)； *&^%

③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)； ）（#￥%

④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)； 请勿采集

⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；

⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)； *&^%

⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)； 请勿采集

三、关于乘方的预备知识： Copyright www.i-bei.com

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b *&^%

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。

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20．分数与百分数的应用（五点名校命题必考知识点，小升初应用题命题中的五大命题专题之一）基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。 ！@#￥

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 ）（#￥%

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。 ！@#￥

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。 请勿采集

常用方法： Copyright www.i-bei.com

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 请勿采集

③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

）（#￥%

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。 ！@#￥

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。 ）（#￥%

有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 *&^%

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 ）（#￥%

20．分数与百分数的应用（五点名校命题必考知识点，小升初应用题命题中的五大命题专题之一）

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基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

请勿采集

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 *&^%

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。 ）（#￥%

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。 ）（#￥%

常用方法： 请勿采集

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。 ）（#￥%

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。 请勿采集

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。

有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。

B、总量发生变化，但其中有的分量不变。

C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

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⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ）（#￥%

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 Copyright www.i-bei.com

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 请勿采集

21．分数大小的比较（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点） Copyright www.i-bei.com

基本方法： 请勿采集

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ！@#￥

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

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③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。 Copyright www.i-bei.com

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。 请勿采集

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。 *&^%

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。 ）（#￥%

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。 请勿采集

22．分数拆分

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23．完全平方数完全平方数特征： *&^%

1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。 *&^%

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。 Copyright www.i-bei.com

4.约数个数为奇数；反之成立。

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5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

请勿采集

6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

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7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 Copyright www.i-bei.com

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224．

比和比例（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点）比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

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比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。 请勿采集

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

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比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。 ！@#￥

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

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比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 请勿采集

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。 *&^%

25．综合行程（即时小学数学的难点，又是小学数学的重点，同时又是小学各种竞赛中的命题热点） Copyright www.i-bei.com

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. Copyright www.i-bei.com

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间 ！@#￥

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

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相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

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追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式） Copyright www.i-bei.com

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速-水速）×逆水时间 *&^%

顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速

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静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

请勿采集

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 *&^%

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

请勿采集

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

请勿采集

主要方法：画线段图法。行程问题六大解题方法：（1）公式法、（2）图解法、（3）比例法、（4）分段法、（5）方程法、（6）列表法。

基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

请勿采集

行程问题十三大类型：

1.简单相遇追及问题

请勿采集

2.多人相遇追及问题（一般为三人，把三人行程转化为二人行程来解决。） ！@#￥

3.多次相遇追及问题（往返行程问题） 请勿采集

4.变速变道问题

5.火车过桥问题（过桥问题，错车问题）

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6.流水行船问题（自动扶梯问题）

7.间隔发车问题 ）（#￥%

8.接送问题

9.时钟问题 请勿采集

10.调头爬行问题

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11.环形跑道问题 Copyright www.i-bei.com

12.跑跑停停问题 *&^%

13.猎狗追兔问题 ！@#￥

26．工程问题基本公式：

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①工作总量=工作效率×工作时间

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②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率基本思路：①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间. ）（#￥%

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。 ）（#￥%

27．逻辑推理基本方法简介： *&^%

①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

请勿采集

②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。

请勿采集

③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。 ）（#￥%

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

请勿采集

⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。 *&^%

28．几何面积（等积变形，学而思计算面积五种模型，仁华学校十种计算面积的方法）（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点）

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基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。 *&^%

常用方法： 请勿采集

1.连辅助线方法 ）（#￥%

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

请勿采集

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积） Copyright www.i-bei.com

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

请勿采集

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。 *&^%

西工大李老师提示：在几何面积里，很多孩子都不是太明白，实际上它有几个知识点，如果你掌握了，万事就ok了！

29．立体图形（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点）

名称	图形	特征	表面积	体积
长方体	8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；	S=2(ab+ah+bh)	V=abh =Sh
正方体	8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；	S=6a2	V=a3
圆柱体	上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；	S=S侧+2S底 ）（#￥% S侧=Ch	V=Sh
圆锥体	下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；	S=S侧+S底 S侧=rl....	V=1/3Sh
球体	圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。	S=4..r2	V=3/4..r3

！@#￥

30．时钟问题—快慢表问题（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点） *&^%

基本思路：

请勿采集

1、按照行程问题中的思维方法解题；

2、不同的表当成速度不同的运动物体；

3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；

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4、时间是标准表所经过的时间； *&^%

5、合理利用行程问题中的比例关系； 请勿采集

31、时钟问题—钟面追及（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点） Copyright www.i-bei.com

基本思路：封闭曲线上的追及问题。 ）（#￥%

关键问题： ）（#￥%

①确定分针与时针的初始位置； Copyright www.i-bei.com

②确定分针与时针的路程差；

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基本方法：

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①分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。 *&^%

②度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转度，即6°，时针每分钟转度，即0.5度。

32、浓度与配比（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点） *&^%

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

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溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。 ）（#￥%

溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

请勿采集

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。

基本公式： 请勿采集

溶液重量=溶质重量+溶剂重量； 请勿采集

溶质重量=溶液重量×浓度；

浓度=×100%=×100% *&^%

理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。

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经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

33、经济问题（五点名校命题必考知识点，小学各种竞赛中的命题热点） *&^%

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；

卖价=成本×（1+利润的百分数）；

成本=卖价÷（1+利润的百分数）； Copyright www.i-bei.com

商品的定价按照期望的利润来确定； 请勿采集

定价=成本×（1+期望利润的百分数）； *&^%

本金：储蓄的金额；

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利率：利息和本金的比； Copyright www.i-bei.com

利息=本金×利率×期数；

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含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；

34、简单方程代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。 *&^%

方程：含有未知数的等式叫方程。

列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。 *&^%

列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。 *&^%

等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；

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等式两边同时乘以或除以一个数（除0），等式不变。 Copyright www.i-bei.com

移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边； *&^%

移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。

）（#￥%

加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“－”号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的，都按有“+”处理。

移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。 ）（#￥%

乘法分配率：a(b+c)=ab+ac

解方程步骤：

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①去分母；

②去括号； ）（#￥%

③移项； 请勿采集

④合并同类项； *&^%

⑤求解； ）（#￥%

方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。 *&^%

解方程组的步骤：

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①消元；

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②按一元一次方程步骤。

消元的方法： 请勿采集

①加减消元； *&^%

②代入消元。

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35、不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程； ）（#￥%

常规方法：观察法、试验法、枚举法；

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多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； *&^%

涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较； 请勿采集

解不定方程的步骤：

1、列方程； 请勿采集

2、消元； 请勿采集

3、写出表达式；

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4、确定范围； ！@#￥

5、确定特征； *&^%

6、确定答案；

技巧总结： *&^%

A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；

B、消元技巧：消掉范围大的未知数； *&^%

36、循环小数一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

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①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ！@#￥

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 ！@#￥

二、分数转化成循环小数的判断方法：

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①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 请勿采集

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

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